函数乘积求导公式大全：提高微积分计算效率

函数乘积求导是微积分中一个重要的知识点。在实际应用中，我们经常会遇到多个函数相乘的情况，比如物理公式、工程计算等。掌握函数乘积的求导公式不仅可以提高计算效率，还能帮助我们更好地理解微积分的本质。下面我们就来详细了解一下求n个函数成乘积的导数公式。

1. 两个函数乘积的导数公式

设有两个可微函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们的乘积为 $F(x) = f(x)g(x)$，则 $F(x)$ 的导数公式为：

$$F'(x) = f'(x)g(x) f(x)g'(x)$$

这个公式也被称为积分法则或乘积法则。它表明，函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

2. n个函数乘积的导数公式

如果有 $n$ 个可微函数 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$，它们的乘积为 $F(x) = f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$，则 $F(x)$ 的导数公式为：

$$F'(x) = \sum_{i=1}^n f_1(x)\cdots f_{i-1}(x)f_i'(x)f_{i 1}(x)\cdots f_n(x)$$

这个公式也称为广义乘积法则。它表明，函数乘积的导数等于各个函数导数的加权和，权重是其他 $n-1$ 个函数的乘积。

3. 应用举例

下面我们通过一个例子来说明函数乘积求导的应用。

设有函数 $f(x) = x^2$, $g(x) = e^x$, $h(x) = \sin x$，求 $F(x) = f(x)g(x)h(x)$ 的导数。

根据广义乘积法则，我们有：

$$F'(x) = f'(x)gh fg'h fgh'$$

其中：

• $f'(x) = 2x$
• $g'(x) = e^x$
• $h'(x) = \cos x$

代入上式得：

$$F'(x) = 2xe^x\sin x x^2e^x\cos x x^2e^x\sin x$$

通过这个例子我们可以看到，函数乘积求导公式的应用可以大大简化计算过程，提高工作效率。掌握这些公式对于从事各种科学研究和工程计算的人来说都是非常有用的技能。

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